Die ebene Welle

Experten-Modus 1: Die ebene Welle am Doppelspalt

Wir betrachten die Ausbreitung einer ebenen Welle und ihre Beugung an einem Doppelspalt im Rahmen der skalaren Streutheorie. Dabei lassen wir deren Zeitabhängigkeit unberücksichtigt, da wir uns hier für den eingeschwungenen Zustand interessieren.

Das geometrische Setup (siehe Abbildung 1)
Eine ebene Welle $\Psi_0 = E_0 e^{ikx}$, die durch eine ideale primäre Punktquelle $S_p$ in $-\infty$ auf der x-Achse erzeugt wird, breitet sich entlang der x-Achse aus und trifft bei $x'=0$ auf eine Blende mit einem Doppelspalt (DS). Die beiden Spalte haben jeweils die Breite $a$ und sind durch einen undurchlässigen Steg der Breite $b$ voneinander getrennt. Weit hinter dem Doppelspalt (im Fernfeld, $x \gg y$) befindet sich der Messschirm (MS), auf dem wir die Intensität des am Doppelspalt gestreuten Feldes in einem Punkt $P(x,y)$ unter dem Beobachtungswinkel $\alpha$ registrieren.

Die Quellen im Rahmen der Kirchhoff-Näherung
Die eintreffende, ebene Welle regt in den beiden Spaltöffnungen sekundäre Quellen an. Mit Hilfe der Heaviside-Sprungfunktion $H$ lassen sich diese induzierten Quellen auf der Zustandsebene präzise formulieren. Für den oberen Spalt $S_1$ und den unteren Spalt $S_2$ lauten sie in der Kirchhoff-Näherung:

\begin{align*} S_1(y') &= 2ik E_0 \cdot H\left(y' - \frac{b}{2}\right) \cdot H\left(\frac{b}{2} + a - y'\right) \\ S_2(y') &= 2ik E_0 \cdot H\left(-y' - \frac{b}{2}\right) \cdot H\left(\frac{b}{2} + a + y'\right) \end{align*}

Die Gesamtquelle in der Blendenebene ist somit die einfache Summe $S(y') = S_1(y') + S_2(y')$ beider Teilquellen.

Die Greensche Funktion und das Feld am Messschirm
Das Feld am Messschirm berechnet sich aus dem Faltungsintegral der Quellen mit der Greenschen Funktion

\begin{equation*} G(y, y') = \frac{e^{ikr(y')}}{4\pi R}, \end{equation*}

welche die Ausbreitung der gestreuten Kugelwellen beschreibt. Im Fernfeld nähern wir den Abstand mit $r(y') \approx R - y' \sin\alpha$.

Das gestreute Feld ergibt sich zu:

\begin{equation*} \Psi(\alpha) = \int_{-\infty}^{\infty} G(y,y') \cdot S(y') \, dy' \end{equation*}

Dieser mathematische Ausdruck – das Integral über die Spaltquellen zusammen mit der spezifischen Greenschen Funktion – ergibt sich aus dem allgemein gültigen Huygensschen Prinzip. Durch die abschnittsweise Definition der Quellen zerfällt das Integral in zwei Anteile, wodurch wir die asymptotische Form der Welle am Schirm erhalten:

\begin{equation*} \Psi(\alpha) = \Psi_1(\alpha) + \Psi_2(\alpha) = f(\alpha) \cdot E_0 \cdot \frac{e^{ikR}}{R} \end{equation*}

Streuamplitude und Superposition
Die gesamte Streuamplitude $f(\alpha)$ ist die Summe der Amplituden beider Spalte: $f(\alpha) = f_1(\alpha) + f_2(\alpha)$. Die Integration über die jeweiligen Spaltbreiten liefert:

\begin{align*} f_1(\alpha) &= \frac{ika}{2\pi} \cdot \frac{\sin \Gamma_a}{\Gamma_a} \cdot e^{-i\Gamma_+} \\ f_2(\alpha) &= \frac{ika}{2\pi} \cdot \frac{\sin \Gamma_a}{\Gamma_a} \cdot e^{+i\Gamma_+} \end{align*}

Hierbei verwenden wir die Abkürzungen $\Gamma_{a,b} = \frac{k \cdot a,b}{2} \sin\alpha$ und $\Gamma_+ = \Gamma_a + \Gamma_b$.

Der Übergang zur messbaren Intensität
Bis hierhin bewegen wir uns ausschließlich auf der abstrakten Zustandsebene. Die Interferenz der beiden Amplituden ist eine reine Superposition der komplexen Phasen. Erst durch die Bildung des Betragsquadrats der Streuamplitude erhalten wir die in der physikalischen Realität messbare Intensitätsverteilung $I_{DS}(\alpha)$ auf dem Schirm:

\begin{equation*} I_{DS}(\alpha) = |f(\alpha)|^2 = 4 \cdot I_S(\alpha) \cdot \cos^2\Gamma_+ \, . \end{equation*}

Dabei ist $I_S(\alpha)$ die Intensität eines einzelnen Spaltes der Breite $a$:

\begin{equation*} I_S(\alpha) = \left(\frac{ka}{2\pi}\right)^2 \cdot \frac{\sin^2\Gamma_a}{\Gamma_a^2}. \end{equation*}

Die Intensität des Doppelspalts wird also durch den Term $\cos^2\Gamma_+$ moduliert, welcher die typischen Interferenzstreifen erzeugt. Die Einhüllende dieses Streifenmusters ist jedoch nicht einfach die Einzelspalt-Intensität, sondern exakt das 4-fache des Einzelspalts ($4 \cdot I_S(\alpha)$). Dieser entscheidende Faktor 4 fehlt in populärwissenschaftlichen Darstellungen häufig durch unsaubere Normierungen. Es ist dabei zu beachten, dass die hier verwendete Kirchhoff-Näherung streng genommen nur für kleine Winkel $\alpha$ gilt. In genau diesem Bereich stimmt sie jedoch hervorragend mit den tatsächlich gemessenen Intensitäten überein.

Hinweis zur Literatur:
Die detaillierten Integrationsschritte und die fundierte Herleitung der Kirchhoff-Näherung über die Greensche Funktion finden sich in: Rother, T.: Green's Functions in Classical Physics, Springer Int. Publ. AG, 2017.

Wer an einer möglichst exakten Lösung dieses Streuproblems interessiert ist, findet dieses in: Hönl, H., Maue A.W., Westphal, K.: Theorie der Beugung Handbuch der Physik Band 25/1, S. Flügge (Hrsg.). Springer, 1961.

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Experten-Modus 2: Wechselwirkung einer linear polarisierten, ebenen Welle mit einem $\lambda/2$-Plättchen

Wir betrachten die Basis-Zustände $|\varphi_1\rangle = |y\rangle = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ und $|\varphi_2\rangle = |z\rangle = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ mit der Orthogonalitätsrelation $\langle\varphi_i|\varphi_j\rangle = \delta_{ij}$. Die Ausgangszustände zweier linear polarisierter, ebener Wellen sind definiert als:

\begin{align*} |\psi_1\rangle &= \frac{e^{ikx}}{\sqrt{2}} |\varphi_1\rangle \\ |\psi_2\rangle &= e^{i\phi} \frac{e^{ikx}}{\sqrt{2}} |\varphi_2\rangle \end{align*}

Deren Intensitäten ergeben sich zu $I_1 = \langle\psi_1|\psi_1\rangle = \frac{1}{2}$ und $I_2 = \langle\psi_2|\psi_2\rangle = \frac{1}{2}$. Der Gesamtzustand ist deren Superposition $|\psi\rangle = |\psi_1\rangle + |\psi_2\rangle$ mit der Gesamtintensität $I_g = \langle\psi|\psi\rangle = 1$. Diese Überlagerung beschreibt eine linear polarisierte, ebene Welle, die sich entlang der x-Achse ausbreitet und deren Polarisationsebene bei $\phi=0$ unter einem Winkel von $45^\circ$ zur positiven z-Achse liegt.

Drehung durch das $\lambda/2$-Plättchen
Ein auf der x-Achse im Punkt $x_w$ angebrachtes $\lambda/2$-Plättchen dreht die Polarisationsebene um den Winkel $\alpha_p$. In den neuen, gedrehten Koordinaten $|\tilde{\varphi}_1\rangle$ und $|\tilde{\varphi}_2\rangle$ lässt sich der Zustand über eine Koordinatentransformation ausdrücken.

In den neuen Koordinaten lauten die transformierten Basisvektoren:

\begin{align*} |\tilde{\varphi}_1\rangle &= \begin{pmatrix} \cos\alpha_p \\ -\sin\alpha_p \end{pmatrix} \\ |\tilde{\varphi}_2\rangle &= \begin{pmatrix} \sin\alpha_p \\ \cos\alpha_p \end{pmatrix}, \end{align*}

die sich aus der Multiplikation der alten Basisvektoren mit der Drehmatrix

\begin{equation*} \hat{R} = \begin{pmatrix} -\sin\alpha_p & \cos\alpha_p \\ \cos\alpha_p & \sin\alpha_p \end{pmatrix} \end{equation*}

ergeben. Sie erfüllen die Orthogonalitätsrelationen $\langle\tilde{\varphi}_i|\tilde{\varphi}_j\rangle = \delta_{ij}$. Damit lassen sich die einlaufenden Teilfelder in den neuen Koordinaten ausdrücken als:

\begin{align*} |\tilde{\psi_1}\rangle &= \frac{e^{ikx}}{\sqrt{2}} \left( -\sin\alpha_p |\tilde{\varphi}_1\rangle + \cos\alpha_p |\tilde{\varphi}_2\rangle \right) \\ |\tilde{\psi_2}\rangle &= e^{i\phi} \frac{e^{ikx}}{\sqrt{2}} \left( \cos\alpha_p |\tilde{\varphi}_1\rangle + \sin\alpha_p |\tilde{\varphi}_2\rangle \right) \end{align*}

Für das Gesamtfeld $|\tilde{\psi}\rangle = |\tilde{\psi_1}\rangle + |\tilde{\psi_2}\rangle$ ergibt sich durch Addition in der neuen Basis somit:

\begin{equation*} |\tilde{\psi}\rangle = \frac{e^{ikx}}{\sqrt{2}} \left[ \left(-\sin\alpha_p + e^{i\phi}\cos\alpha_p\right) |\tilde{\varphi}_1\rangle + \left(\cos\alpha_p + e^{i\phi}\sin\alpha_p\right) |\tilde{\varphi}_2\rangle \right] \end{equation*}

Auch hier gilt wieder für die Gesamtintensität $\langle\tilde{\psi}|\tilde{\psi}\rangle = 1$. D.h., die Drehung der Polarisationsebene erhält die Intensität.

Der Intensitätsoperator
Ein zentrales Element zur Bestimmung der messbaren Intensitäten ist der Intensitätsoperator $\hat{I}$:

\begin{equation*} \hat{I} = \sum_{i=1}^4 p_i |\phi_i\rangle\langle\phi_i| \end{equation*}

Dieser wird aus der Summe des dyadischen Produkts der Vektoren

\begin{align*} |\phi_1\rangle &= -\sin\alpha_p |\tilde{\varphi}_1\rangle + \cos\alpha_p |\tilde{\varphi}_2\rangle \\ |\phi_2\rangle &= \cos\alpha_p |\tilde{\varphi}_1\rangle + \sin\alpha_p |\tilde{\varphi}_2\rangle \\ |\phi_3\rangle &= |\tilde{\varphi}_1\rangle \\ |\phi_4\rangle &= |\tilde{\varphi}_2\rangle \end{align*}

gebildet. Weiterhin gelten die Orthogonalitätsrelationen $\langle\phi_1|\phi_2\rangle = \langle\phi_3|\phi_4\rangle = 0$ und die Normierungsbedingung $\langle\phi_i|\phi_i\rangle = 1$. Die entscheidenden „Quasi-Gewichte“ binden den anfänglichen Phasenterm $\phi$ explizit ein:

\begin{align*} p_1 &= p_2 = \frac{1}{2} \\ -p_3 &= p_4 = \cos\phi \cdot \sin\alpha_p \cdot \cos\alpha_p \end{align*}

Die messbaren Teilintensitäten entlang der transformierten Koordinaten nach dem Durchgang durch das $\lambda/2$-Plättchen berechnen sich schließlich exakt über den Erwartungswert dieses Operators:

\begin{align*} \tilde{I}_1 &= \langle\tilde{\varphi}_1|\hat{I}|\tilde{\varphi}_1\rangle \\ \tilde{I}_2 &= \langle\tilde{\varphi}_2|\hat{I}|\tilde{\varphi}_2\rangle. \end{align*}

Setzt man die zuvor definierten Zustände $|\phi_i\rangle$ und die „Quasi-Gewichte“ $p_i$ in diese Erwartungswerte ein, ergeben sich die expliziten Ausdrücke für die Teilintensitäten nach der Drehung zu:

\begin{align*} \tilde{I}_1 &= \frac{1}{2} - \cos\phi \cdot \sin\alpha_p \cdot \cos\alpha_p \\ \tilde{I}_2 &= \frac{1}{2} + \cos\phi \cdot \sin\alpha_p \cdot \cos\alpha_p \end{align*}

Zum Vergleich noch einmal die Teilintensitäten vor der Drehung aus den Zuständen $|\psi_1\rangle$ und $|\psi_2\rangle$:

\begin{align*} I_1 &= \frac{1}{2} \\ I_2 &= \frac{1}{2} \end{align*}

Man erkennt hier direkt, wie der Phasenterm $\phi$ der primären Quelle die Intensitätsverteilung nach der Wechselwirkung moduliert. Zudem wird offensichtlich, dass die Operation des $\lambda/2$-Plättchens verlustfrei ist, da die Gesamtintensität vor und nach der Drehung strikt erhalten bleibt ($I_1 + I_2 = \tilde{I}_1 + \tilde{I}_2 = 1$).

Die beiden Quasi-Gewichte $p_3$ und $p_4$ lassen eine Senke-Quelle-Interpretation für die Intensität zu. Das Gewicht $p_3$ wirkt wie eine Senke für die Teilintensität der Koordinate $|\tilde{\varphi}_1\rangle$, wohingegen $p_4$ wie eine Quelle für die Teilintensität entlang der Koordinate $|\tilde{\varphi}_2\rangle$ wirkt.

Der Greensche Operator
Eine Darstellung dieser Wechselwirkung im kausalen Bild von Ursache und Wirkung lässt sich mit Hilfe des Greenschen Operators $\hat{G}$ erreichen. Die Heaviside-Funktion $H$ trennt dabei die räumlichen Bereiche vor und hinter dem Plättchen am Ort $x_w$:

\begin{equation*} \hat{G} := H(x_w - x) \cdot \hat{G}_0^< + H(x - x_w) \cdot \hat{G}_0^> \cdot \hat{W} \cdot \hat{G}_0^< \end{equation*}

Hierbei sind die ungestörten Propagatoren vor ($\hat{G}_0^<$) und nach ($\hat{G}_0^>$) dem Plättchen definiert als:

\begin{align*} \hat{G}_0^< &= \sum_{i=1}^2 |\varphi_i\rangle\langle\varphi_i| \\ \hat{G}_0^> &= \sum_{i=1}^2 |\tilde{\varphi}_i\rangle\langle\tilde{\varphi}_i| \end{align*}

Das sind gerade die Einheitsmatrizen im jeweiligen Zustandsraum.

Erhaltung der Gesamtintensität und Greensche Funktion
Der physikalischen Forderung, dass die Gesamtintensität beim Durchgang durch das $\lambda/2$-Plättchen erhalten bleiben muss, wird man mit Hilfe der Bedingung:

\begin{equation*} \sum_{k=1}^2 \langle\varphi_k|\hat{G}|\varphi_k\rangle\Big|_{x < x_w} = \sum_{k=1}^2 \langle\varphi_k|\hat{G}|\varphi_k\rangle\Big|_{x > x_w} \end{equation*}

gerecht. Setzt man dort den Greenschen Operator ein, folgt:

\begin{equation*} \sum_{i,k=1}^2 \langle\varphi_k|\varphi_i\rangle\langle\varphi_i|\varphi_k\rangle = \sum_{i,k=1}^2 \langle\varphi_k| \sum_{j=1}^2 |\tilde{\varphi}_j\rangle\langle\tilde{\varphi}_j| \hat{W} |\varphi_i\rangle \cdot \langle\varphi_i|\varphi_k\rangle \, . \end{equation*}

Mit den Matrixelementen $[\hat{W}]_{ji} = \langle\tilde{\varphi}_j|\hat{W}|\varphi_i\rangle$ folgt daraus die Darstellung der ursprünglichen Basis in der neuen Basis:

\begin{equation*} |\varphi_i\rangle = \sum_{j=1}^2 [\hat{W}]_{ji} \cdot |\tilde{\varphi}_j\rangle \end{equation*}

In kompakter "Supervektor"-Schreibweise geschrieben:

\begin{equation*} (|\varphi_1\rangle, |\varphi_2\rangle) = (|\tilde{\varphi}_1\rangle, |\tilde{\varphi}_2\rangle) \cdot \hat{W}^{tp}. \end{equation*}

Durch dyadische Multiplikation von links mit dem Vektor der Bra-Zustände $\begin{pmatrix} \langle\tilde{\varphi}_1| \\ \langle\tilde{\varphi}_2| \end{pmatrix}$ ergibt sich schließlich die explizite Form der Wechselwirkungsmatrix im Greenschen Operator:

\begin{equation*} \hat{W} = \begin{pmatrix} -\sin\alpha_p & \cos\alpha_p \\ \cos\alpha_p & \sin\alpha_p \end{pmatrix} \, . \end{equation*}

Das ist exakt wieder die Drehmatrix $\hat{R}$ der obigen Koordinatentransformation.

Der Gesamtzustand nach der Wechselwirkung
Der resultierende Gesamtzustand $|\tilde{\psi}\rangle$ im Raum hinter dem $\lambda/2$-Plättchen ($x > x_w$) ergibt sich nun durch die direkte Anwendung des Greenschen Operators auf die Superposition der primären Teilzustände als primäre Quelle:

\begin{equation*} |\tilde{\psi}\rangle = \hat{G} \odot (|\psi_1\rangle + |\psi_2\rangle). \end{equation*}

Physikalische Bedeutung der räumlichen Zuordnung
Diese letzte Gleichung ist von zentraler konzeptioneller Bedeutung. Da wir hier den zeitfreien, eingeschwungenen Zustand mit einer harmonischen Zeitabhängigkeit $e^{-i\omega t}$ betrachten, fungieren die Heaviside-Funktionen im Greenschen Operator nicht als zeitliche Schalter, sondern bewirken eine strikt räumliche Ordnung auf der x-Achse. Die Gleichung drückt somit eine klare physikalische Ursache-Wirkungs-Beziehung aus: Die primären Zustände $|\psi_1\rangle$ und $|\psi_2\rangle$ vor dem Plättchen bilden die quantifizierbare Ursache, während der Greensche Operator die exakt berechenbare Wirkung – die Drehung der Polarisationsebene – im Raum hinter dem Plättchen liefert. Physik wird hier im besten Sinne als die Darstellung von Ursache und Wirkung durch Maß und Zahl greifbar, völlig frei von metaphysischen Interpretationen oder unsauberen temporalen Spekulationen.

Die klassische Blaupause für die Quantenwelt
An dieser Stelle drängt sich eine berechtigte Frage auf: Warum beschreiben wir eine klassisch so leicht verständliche Wechselwirkung – die simple Drehung einer Polarisationsebene durch ein $\lambda/2$-Plättchen – mit einem derart massiven mathematischen Apparat aus abstrakten Zustandsvektoren, Projektionsoperatoren und „Quasi-Gewichten“?

Die Antwort ist didaktischer Natur und bildet das methodische Fundament für unsere späteren Betrachtungen der Quantenmechanik. Der hier aufgebaute Formalismus – unitäre Transformationen, Superposition von Zuständen mit relativen Phasen ($e^{i\phi}$) und die Berechnung von messbaren Intensitäten über den Erwartungswert von Operatoren – entspricht strukturell exakt dem mathematischen Werkzeugkasten, der zur Beschreibung von Quantensystemen (etwa bei der Behandlung der Bellschen Ungleichungen) verwendet wird.

Indem wir diesen Apparat bereits an einem klassischen Phänomen der Elektrodynamik verankern, entziehen wir der späteren quantenmechanischen Diskussion im Vorfeld jeglichen metaphysischen Nährboden. Wenn in den kommenden Blöcken bei der Präparation verschränkter Zustände vermeintlich mysteriöse Korrelationen oder Interferenzterme auftreten, erkennen wir diese sofort wieder: Sie sind – exakt wie die hier abgeleiteten „Quasi-Gewichte“ $p_3$ und $p_4$ – schlicht eine formale Konsequenz der Superposition auf der abstrakten Zustandsebene. Wir bleiben damit einem unverrückbaren Grundprinzip treu: Physik formuliert kausale Ursache-Wirkungs-Beziehungen und drückt diese unmissverständlich durch Maß und Zahl aus. Die abstrakte Zustandsfunktion liefert das mathematische Maß, der Greensche Operator beschreibt die kausale Wirkung, und die daraus berechnete Intensität liefert die messbare Zahl in unserer physikalischen Realität.